Решение

Сначала вычислим значение каждого выражения в прямоугольниках:

1. $$600 - 172 : 4 - 10 = 600 - 43 - 10 = 547$$
2. $$(510:3+30):5 = (170 + 30):5 = 200:5 = 40$$
3. $$144:2:6-10 = 72:6-10 = 12-10=2$$
4. $$850:5 + 10 \cdot 46:2 = 170 + 460:2 = 170 + 230 = 400$$
5. $$1000 - 180 : 9 \cdot 50 = 1000 - 20 \cdot 50 = 1000 - 1000 = 0$$
6. $$(780:2 - 630:7) : 100 = (390 - 90) : 100 = 300:100=3$$

Теперь соединим прямоугольники с кругами с соответствующими числами:

• Прямоугольник с выражением $$600 - 172 : 4 - 10 = 547$$ останется без пары.
• Прямоугольник с выражением $$(510:3+30):5$$ соединим с кругом с числом 40.
• Прямоугольник с выражением $$144:2:6-10$$ не имеет пары.
• Прямоугольник с выражением $$850:5 + 10 \cdot 46:2$$ соединим с кругом с числом 400.
• Прямоугольник с выражением $$1000 - 180 : 9 \cdot 50$$ соединим с кругом с числом 0.
• Прямоугольник с выражением $$(780:2 - 630:7) : 100$$ соединим с кругом с числом 3.

Для оставшегося прямоугольника с выражением $$144:2:6-10$$ вычислим значение: $$144:2:6-10 = 72:6-10 = 12-10=2$$

Следовательно, в свободном круге нужно написать число 2.