Соедините отрезками середины К, М и N сторон АС, ВС и АВ. Докажите, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника АВС.

1. Найти середины сторон: K (средняя линия, параллельная АВ) = ( (3-5)/2; (5-2)/2 ) = (-1; 1.5). M (средняя линия, параллельная ВС) = ( (3-5)/2; (-2-2)/2 ) = (-1; -2). N (средняя линия, параллельная АС) = ( (3+3)/2; (5-2)/2 ) = (3; 1.5). 2. Длины сторон треугольника KMN: KM = sqrt((-1 - (-1))^2 + (1.5 - (-2))^2) = 3.5. MN = sqrt((-1 - 3)^2 + (-2 - 1.5)^2) = sqrt(16 + 12.25) = sqrt(28.25) ≈ 5.315. KN = sqrt((-1 - 3)^2 + (1.5 - 1.5)^2) = 4. 3. Длины сторон треугольника ABC: AB = 7. BC = 8. AC = sqrt((3 - (-5))^2 + (5 - (-2))^2) = sqrt(64 + 49) = sqrt(113) ≈ 10.63. 4. Пропорциональность: KM/AB = 3.5/7 = 0.5. MN/AC ≈ 5.315/10.63 ≈ 0.5. KN/BC = 4/8 = 0.5. Стороны пропорциональны с коэффициентом 0.5. Доказано.