Сократи дробь $$rac{12^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} \cdot 15^{n+2}}$$.

Для сокращения дроби $$rac{12^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} \cdot 15^{n+2}}$$ сначала разложим основания степеней на простые множители:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$

$$4 = 2^2$$

$$15 = 3 \cdot 5$$

Теперь перепишем дробь с учетом разложения на простые множители:

$$\frac{(2^2 \cdot 3)^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{(2^2)^{n+1} \cdot (3 \cdot 5)^{n+2}} = \frac{2^{2(n+4)} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{2^{2(n+1)} \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{n+2}}$$

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями:

$$\frac{2^{2n+8} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{2^{2n+2} \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{n+2}} = 2^{(2n+8)-(2n+2)} \cdot 3^{(n+4)-(n+2)} \cdot 5^{(n+2)-(n+2)} = 2^{2n+8-2n-2} \cdot 3^{n+4-n-2} \cdot 5^0 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 1$$

Вычислим степени:

$$2^6 = 64$$

$$3^2 = 9$$

Перемножим полученные числа:

$$64 \cdot 9 = 576$$

Следовательно, дробь сокращается до:

$$\frac{12^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} \cdot 15^{n+2}} = 576$$

Ответ: 576