Сократи дробь: $$rac{12^{n+4} cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} cdot 15^{n+2}}$$

Для начала представим числа 12, 4 и 15 в виде произведения простых чисел:

$$12 = 2^2 cdot 3$$

$$4 = 2^2$$

$$15 = 3 cdot 5$$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{(2^2 cdot 3)^{n+4} cdot 5^{n+2}}{(2^2)^{n+1} cdot (3 cdot 5)^{n+2}}$$.

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$$\frac{2^{2(n+4)} cdot 3^{n+4} cdot 5^{n+2}}{2^{2(n+1)} cdot 3^{n+2} cdot 5^{n+2}}$$.

Теперь упростим выражение, поделив степени с одинаковыми основаниями:

$$\frac{2^{2n+8} cdot 3^{n+4} cdot 5^{n+2}}{2^{2n+2} cdot 3^{n+2} cdot 5^{n+2}} = 2^{(2n+8)-(2n+2)} cdot 3^{(n+4)-(n+2)} cdot 5^{(n+2)-(n+2)}$$.

Выполним вычитание в показателях степеней:

$$2^{2n+8-2n-2} cdot 3^{n+4-n-2} cdot 5^{n+2-n-2} = 2^6 cdot 3^2 cdot 5^0$$.

Так как $$5^0 = 1$$, у нас остаётся:

$$2^6 cdot 3^2 = 64 cdot 9 = 576$$.

Таким образом, сокращенная дробь равна 576.