Сократите дробь $$\frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}}$$.

Решение:

Чтобы сократить дробь, попробуем преобразовать числитель так, чтобы он содержал множитель \( \sqrt{15} + \sqrt{2} \) или другой множитель, который можно сократить.

Рассмотрим числитель: \( 17 + 2\sqrt{30} \).

Попробуем представить \( 17 \) в виде суммы двух чисел, квадраты которых дадут множители под корнем \( \sqrt{30} \).

Заметим, что \( 30 = 15 \cdot 2 \).

Попробуем разложить \( 17 \) на \( 15 + 2 \).

\( 17 + 2\sqrt{30} = 15 + 2\sqrt{15 \cdot 2} + 2 \)

Это похоже на квадрат суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

В нашем случае \( 2ab = 2\sqrt{15 \cdot 2} \). Если \( a = \sqrt{15} \) и \( b = \sqrt{2} \), то \( a^2 = 15 \) и \( b^2 = 2 \).

Проверим: \( (\sqrt{15} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2 \sqrt{15} \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 15 + 2\sqrt{30} + 2 = 17 + 2\sqrt{30} \).

Значит, числитель равен \( (\sqrt{15} + \sqrt{2})^2 \).

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{17 + 2\sqrt{30}}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{2})^2}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} \)

Сократим дробь на \( \sqrt{15} + \sqrt{2} \) (при условии \( \sqrt{15} + \sqrt{2} \neq 0 \), что верно):

\( \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{2})^2}{\sqrt{15} + \sqrt{2}} = \sqrt{15} + \sqrt{2} \).

Ответ: $$\sqrt{15} + \sqrt{2}$$.