Сократите дробь $\frac{5x^2 - 3x - 2}{5x^2 + 2x}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{5x^2 - 3x - 2}{5x^2 + 2x}$, нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители. 1. Разложим числитель $5x^2 - 3x - 2$ на множители: Чтобы разложить квадратный трехчлен $5x^2 - 3x - 2$ на множители, найдем его корни. Решим квадратное уравнение $5x^2 - 3x - 2 = 0$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ В нашем случае $a = 5$, $b = -3$, $c = -2$. $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10} = \frac{3 \pm 7}{10}$ Итак, корни уравнения: $x_1 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$ $x_2 = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$ Теперь можно записать квадратный трехчлен в виде произведения: $5x^2 - 3x - 2 = 5(x - 1)(x + \frac{2}{5}) = (x - 1)(5x + 2)$ 2. Разложим знаменатель $5x^2 + 2x$ на множители: $5x^2 + 2x = x(5x + 2)$ 3. Сократим дробь: Теперь у нас есть дробь: $\frac{5x^2 - 3x - 2}{5x^2 + 2x} = \frac{(x - 1)(5x + 2)}{x(5x + 2)}$ Сократим общий множитель $(5x + 2)$: $\frac{(x - 1)(5x + 2)}{x(5x + 2)} = \frac{x - 1}{x}$ Таким образом, после сокращения получаем: Ответ: $\frac{x-1}{x}$