Сократите дробь: a) $$\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}}$$; б) $$\frac{9-a}{3+\sqrt{a}}$$.

Решение:

a) $$\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}}$$:

Для начала упростим знаменатель, вынеся общий множитель $$\sqrt{5}$$:

$$\sqrt{30} + \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 6} + \sqrt{5} = \sqrt{5}\sqrt{6} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{6} + 1)$$

Теперь перепишем дробь с упрощенным знаменателем:

$$\frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{5}} = \frac{6+\sqrt{6}}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)}$$

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $$\sqrt{6}$$:

$$6 + \sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} = \sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)$$

Теперь перепишем дробь с разложенным числителем:

$$\frac{\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)}$$

Сократим дробь на общий множитель $$\sqrt{6} + 1$$:

$$\frac{\sqrt{6}(\sqrt{6} + 1)}{\sqrt{5}(\sqrt{6}+1)} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}$$:

$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{5}$$

б) $$\frac{9-a}{3+\sqrt{a}}$$:

Заметим, что $$9 - a$$ можно представить как разность квадратов: $$9 - a = 3^2 - (\sqrt{a})^2$$. Используем формулу разности квадратов: $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

Тогда:

$$9 - a = (3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})$$

Теперь перепишем дробь:

$$\frac{9-a}{3+\sqrt{a}} = \frac{(3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})}{3+\sqrt{a}}$$

Сократим дробь на общий множитель $$(3 + \sqrt{a})$$:

$$\frac{(3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})}{3+\sqrt{a}} = 3 - \sqrt{a}$$

Ответ: $$3 - \sqrt{a}$$