Solve the following expressions:

Alright class, let's tackle these expressions one by one. I'll break down each step so it's easy to follow. **Expression 1:** \[2 : \frac{3}{5} + \frac{3}{5} : 2 + 1\frac{1}{2} : 6 + 6 : 1\frac{1}{2}\] Let's rewrite the mixed numbers as improper fractions, and remember that division is the same as multiplying by the reciprocal. Also remember the order of operations (PEMDAS/BODMAS). 1. \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) 2. Rewrite the expression: \[2 : \frac{3}{5} + \frac{3}{5} : 2 + \frac{3}{2} : 6 + 6 : \frac{3}{2}\] 3. Perform the divisions (multiply by the reciprocal): \[2 \cdot \frac{5}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{2}{3}\] 4. Multiply: \[\frac{10}{3} + \frac{3}{10} + \frac{3}{12} + \frac{12}{3}\] 5. Simplify fractions where possible: \[\frac{10}{3} + \frac{3}{10} + \frac{1}{4} + 4\] 6. Get a common denominator, which is 60: \[\frac{200}{60} + \frac{18}{60} + \frac{15}{60} + \frac{240}{60}\] 7. Add the fractions: \[\frac{200 + 18 + 15 + 240}{60} = \frac{473}{60}\] 8. Convert to mixed number: \[\frac{473}{60} = 7\frac{53}{60}\] So the answer to the first expression is \(7\frac{53}{60}\). **Expression 2:** \[6\frac{1}{4} \cdot 8 - 3\frac{2}{3} \cdot 5\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5} \cdot 4\frac{7}{12}\] 1. Convert mixed numbers to improper fractions: \[\frac{25}{4} \cdot 8 - \frac{11}{3} \cdot \frac{11}{2} + \frac{12}{5} \cdot \frac{55}{12}\] 2. Multiply: \[\frac{200}{4} - \frac{121}{6} + \frac{660}{60}\] 3. Simplify where possible: \[50 - \frac{121}{6} + 11\] 4. Add the whole numbers: \[61 - \frac{121}{6}\] 5. Convert 61 to a fraction with denominator 6: \[\frac{366}{6} - \frac{121}{6}\] 6. Subtract: \[\frac{366 - 121}{6} = \frac{245}{6}\] 7. Convert to mixed number: \[\frac{245}{6} = 40\frac{5}{6}\] So the answer to the second expression is \(40\frac{5}{6}\). **Expression 3:** \[\left(5\frac{3}{8} + 18\frac{1}{2} - 7\frac{5}{24}\right) : 16\frac{2}{3}\] 1. Convert mixed numbers to improper fractions: \[\left(\frac{43}{8} + \frac{37}{2} - \frac{173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] 2. Get a common denominator (24) inside the parenthesis: \[\left(\frac{129}{24} + \frac{444}{24} - \frac{173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] 3. Add/Subtract: \[\left(\frac{129 + 444 - 173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] \[\frac{400}{24} : \frac{50}{3}\] 4. Simplify fraction and divide (multiply by reciprocal): \[\frac{50}{3} \cdot \frac{3}{50}\] 5. Multiply: \[\frac{150}{150} = 1\] So the answer to the third expression is 1. **Expression 4:** \[\left(3\frac{1}{2} - 2\frac{2}{3} + 5\frac{5}{6} + 4\frac{3}{5}\right) \cdot 24\] 1. Convert mixed numbers to improper fractions: \[\left(\frac{7}{2} - \frac{8}{3} + \frac{35}{6} + \frac{23}{5}\right) \cdot 24\] 2. Get a common denominator (30): \[\left(\frac{105}{30} - \frac{80}{30} + \frac{175}{30} + \frac{138}{30}\right) \cdot 24\] 3. Add/Subtract: \[\left(\frac{105 - 80 + 175 + 138}{30}\right) \cdot 24\] \[\frac{338}{30} \cdot 24\] 4. Simplify and Multiply: \[\frac{169}{15} \cdot 24 = \frac{169}{5} \cdot 8 = \frac{1352}{5}\] 5. Convert to mixed number: \[\frac{1352}{5} = 270\frac{2}{5}\] So the answer to the fourth expression is \(270\frac{2}{5}\). **Expression 5:** \[12\frac{5}{12} + 1\frac{2}{3} - 3\frac{5}{6} + 2\frac{3}{4} : \left(2\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{9}\right)\] 1. Convert mixed numbers to improper fractions: \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \left(\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{9}\right)\] 2. Simplify within parenthesis: \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \left(1 - \frac{7}{9}\right)\] \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \frac{2}{9}\] 3. Perform division (multiply by reciprocal): \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} \cdot \frac{9}{2}\] \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{99}{8}\] 4. Common denominator is 24 \[\frac{298}{24} + \frac{40}{24} - \frac{92}{24} + \frac{297}{24}\] 5. Add/Subtract: \[\frac{298 + 40 - 92 + 297}{24} = \frac{543}{24}\] 6. Convert to mixed number: \[\frac{543}{24} = 22\frac{15}{24} = 22\frac{5}{8}\] So the answer to the fifth expression is \(22\frac{5}{8}\). **Expression 6:** \[\left(\frac{5}{7} + \frac{1}{2} : \frac{2}{3} - 1\right) : \left(1 - \frac{7}{8} \cdot 1\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{14}\right)\] 1. Simplify within the first set of parentheses: \[\frac{5}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 1 = \frac{5}{7} + \frac{3}{4} - 1\] 2. Find the common denominator for the first set (28): \[\frac{20}{28} + \frac{21}{28} - \frac{28}{28} = \frac{20 + 21 - 28}{28} = \frac{13}{28}\] 3. Now, simplify the second set of parentheses: \[1 - \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{14} = 1 - \frac{7 \cdot 8 \cdot 3}{8 \cdot 5 \cdot 14} = 1 - \frac{168}{560}\] 4. Simplify the fraction in the second set: \[1 - \frac{168}{560} = 1 - \frac{3}{10}\] 5. Continue simplifying second parenthesis: \[1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\] 6. The new expression is: \[\frac{13}{28} : \frac{7}{10} = \frac{13}{28} \cdot \frac{10}{7}\] 7. Multiply: \[\frac{13 \cdot 10}{28 \cdot 7} = \frac{130}{196}\] 8. Simplify: \[\frac{130}{196} = \frac{65}{98}\] So, the answer to the sixth expression is \(\frac{65}{98}\). **Summary of answers:** * Expression 1: \(7\frac{53}{60}\) * Expression 2: \(40\frac{5}{6}\) * Expression 3: 1 * Expression 4: \(270\frac{2}{5}\) * Expression 5: \(22\frac{5}{8}\) * Expression 6: \(\frac{65}{98}\) I hope this helps you understand how to solve these types of problems. Remember to take it one step at a time, and always double-check your work! Разберём каждое выражение пошагово, чтобы всё было понятно: **Выражение 1:** \[2 : \frac{3}{5} + \frac{3}{5} : 2 + 1\frac{1}{2} : 6 + 6 : 1\frac{1}{2}\] 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, и помните, что деление - это то же самое, что умножение на обратную дробь. Также помните порядок операций (PEMDAS/BODMAS). 2. \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) 3. Перепишем выражение: \[2 : \frac{3}{5} + \frac{3}{5} : 2 + \frac{3}{2} : 6 + 6 : \frac{3}{2}\] 4. Выполним деления (умножим на обратную дробь): \[2 \cdot \frac{5}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{2}{3}\] 5. Умножаем: \[\frac{10}{3} + \frac{3}{10} + \frac{3}{12} + \frac{12}{3}\] 6. Упростим дроби, где это возможно: \[\frac{10}{3} + \frac{3}{10} + \frac{1}{4} + 4\] 7. Приводим к общему знаменателю, который равен 60: \[\frac{200}{60} + \frac{18}{60} + \frac{15}{60} + \frac{240}{60}\] 8. Складываем дроби: \[\frac{200 + 18 + 15 + 240}{60} = \frac{473}{60}\] 9. Преобразуем в смешанное число: \[\frac{473}{60} = 7\frac{53}{60}\] Итак, ответ на первое выражение: \(7\frac{53}{60}\). **Выражение 2:** \[6\frac{1}{4} \cdot 8 - 3\frac{2}{3} \cdot 5\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5} \cdot 4\frac{7}{12}\] 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[\frac{25}{4} \cdot 8 - \frac{11}{3} \cdot \frac{11}{2} + \frac{12}{5} \cdot \frac{55}{12}\] 2. Умножаем: \[\frac{200}{4} - \frac{121}{6} + \frac{660}{60}\] 3. Упрощаем, где это возможно: \[50 - \frac{121}{6} + 11\] 4. Складываем целые числа: \[61 - \frac{121}{6}\] 5. Преобразуем 61 в дробь со знаменателем 6: \[\frac{366}{6} - \frac{121}{6}\] 6. Вычитаем: \[\frac{366 - 121}{6} = \frac{245}{6}\] 7. Преобразуем в смешанное число: \[\frac{245}{6} = 40\frac{5}{6}\] Итак, ответ на второе выражение: \(40\frac{5}{6}\). **Выражение 3:** \[\left(5\frac{3}{8} + 18\frac{1}{2} - 7\frac{5}{24}\right) : 16\frac{2}{3}\] 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[\left(\frac{43}{8} + \frac{37}{2} - \frac{173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] 2. Приводим к общему знаменателю (24) внутри скобок: \[\left(\frac{129}{24} + \frac{444}{24} - \frac{173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] 3. Складываем/вычитаем: \[\left(\frac{129 + 444 - 173}{24}\right) : \frac{50}{3}\] \[\frac{400}{24} : \frac{50}{3}\] 4. Упрощаем дробь и делим (умножаем на обратную дробь): \[\frac{50}{3} \cdot \frac{3}{50}\] 5. Умножаем: \[\frac{150}{150} = 1\] Итак, ответ на третье выражение: 1. **Выражение 4:** \[\left(3\frac{1}{2} - 2\frac{2}{3} + 5\frac{5}{6} + 4\frac{3}{5}\right) \cdot 24\] 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[\left(\frac{7}{2} - \frac{8}{3} + \frac{35}{6} + \frac{23}{5}\right) \cdot 24\] 2. Приводим к общему знаменателю (30): \[\left(\frac{105}{30} - \frac{80}{30} + \frac{175}{30} + \frac{138}{30}\right) \cdot 24\] 3. Складываем/вычитаем: \[\left(\frac{105 - 80 + 175 + 138}{30}\right) \cdot 24\] \[\frac{338}{30} \cdot 24\] 4. Упрощаем и умножаем: \[\frac{169}{15} \cdot 24 = \frac{169}{5} \cdot 8 = \frac{1352}{5}\] 5. Преобразуем в смешанное число: \[\frac{1352}{5} = 270\frac{2}{5}\] Итак, ответ на четвертое выражение: \(270\frac{2}{5}\). **Выражение 5:** \[12\frac{5}{12} + 1\frac{2}{3} - 3\frac{5}{6} + 2\frac{3}{4} : \left(2\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{9}\right)\] 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \left(\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} - \frac{7}{9}\right)\] 2. Упрощаем внутри скобок: \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \left(1 - \frac{7}{9}\right)\] \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} : \frac{2}{9}\] 3. Выполняем деление (умножаем на обратную дробь): \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{11}{4} \cdot \frac{9}{2}\] \[\frac{149}{12} + \frac{5}{3} - \frac{23}{6} + \frac{99}{8}\] 4. Общий знаменатель равен 24 \[\frac{298}{24} + \frac{40}{24} - \frac{92}{24} + \frac{297}{24}\] 5. Складываем/вычитаем: \[\frac{298 + 40 - 92 + 297}{24} = \frac{543}{24}\] 6. Преобразуем в смешанное число: \[\frac{543}{24} = 22\frac{15}{24} = 22\frac{5}{8}\] Итак, ответ на пятое выражение: \(22\frac{5}{8}\). **Выражение 6:** \[\left(\frac{5}{7} + \frac{1}{2} : \frac{2}{3} - 1\right) : \left(1 - \frac{7}{8} \cdot 1\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{14}\right)\] 1. Упрощаем внутри первой скобки: \[\frac{5}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 1 = \frac{5}{7} + \frac{3}{4} - 1\] 2. Находим общий знаменатель для первой скобки (28): \[\frac{20}{28} + \frac{21}{28} - \frac{28}{28} = \frac{20 + 21 - 28}{28} = \frac{13}{28}\] 3. Теперь упростим вторую скобку: \[1 - \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{14} = 1 - \frac{7 \cdot 8 \cdot 3}{8 \cdot 5 \cdot 14} = 1 - \frac{168}{560}\] 4. Упростим дробь во второй скобке: \[1 - \frac{168}{560} = 1 - \frac{3}{10}\] 5. Продолжаем упрощать вторую скобку: \[1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\] 6. Новое выражение: \[\frac{13}{28} : \frac{7}{10} = \frac{13}{28} \cdot \frac{10}{7}\] 7. Умножаем: \[\frac{13 \cdot 10}{28 \cdot 7} = \frac{130}{196}\] 8. Упрощаем: \[\frac{130}{196} = \frac{65}{98}\] Итак, ответ на шестое выражение: \(\frac{65}{98}\). **Итоговые ответы:** * Выражение 1: \(7\frac{53}{60}\) * Выражение 2: \(40\frac{5}{6}\) * Выражение 3: 1 * Выражение 4: \(270\frac{2}{5}\) * Выражение 5: \(22\frac{5}{8}\) * Выражение 6: \(\frac{65}{98}\)