Соответствие между дифференциальным уравнением и его характеристическим уравнением:

Давай сопоставим дифференциальные уравнения с их характеристическими уравнениями. Чтобы это сделать, нужно вспомнить, как составляются характеристические уравнения. 1. Для уравнения вида $$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + ... + a_1y' + a_0y = 0$$ характеристическое уравнение будет иметь вид $$\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + ... + a_1\lambda + a_0 = 0$$. 2. Теперь посмотрим на уравнения из задания: * $$y^{IV} - 2y''' + y'' + y = 0$$. Здесь старшая производная – четвертая, значит, степень характеристического уравнения будет 4. Коэффициенты при производных: 1 при $$y^{IV}$$, -2 при $$y'''$$, 1 при $$y''$$, и 1 при $$y$$. Соответствующее характеристическое уравнение: $$\lambda^4 - 2\lambda^3 + \lambda^2 + 1 = 0$$. * $$y^{IV} + 2y'' + y' + y = 0$$. Здесь старшая производная также четвертая, значит, степень характеристического уравнения будет 4. Коэффициенты при производных: 1 при $$y^{IV}$$, 2 при $$y''$$, 1 при $$y'$$ и 1 при $$y$$. Соответствующее характеристическое уравнение: $$\lambda^4 + 2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$$. * $$y''' + 2y'' + y' + y = 0$$. Здесь старшая производная – третья, значит, степень характеристического уравнения будет 3. Коэффициенты при производных: 1 при $$y'''$$, 2 при $$y''$$, 1 при $$y'$$ и 1 при $$y$$. Соответствующее характеристическое уравнение: $$\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$$. Таким образом, получаем соответствия: * $$y^{IV} - 2y''' + y'' + y = 0$$ соответствует $$\lambda^4 - 2\lambda^3 + \lambda^2 + 1 = 0$$. * $$y^{IV} + 2y'' + y' + y = 0$$ соответствует $$\lambda^4 + 2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$$. * $$y''' + 2y'' + y' + y = 0$$ соответствует $$\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$$.