5. Сосновый брус (р = 400 кг) прямоугольной формы, длина которого 1 = 2,0 м, способен удержать на воде груз массой m = 60 кг. Определите площадь основания бруса. Плотность воды Р = 1000 кг. Коэффициент 8 принять равным 10 Н.

Ответ: 0,06 м²

Решение:

• Шаг 1: Запишем условие равновесия:

\[F_A = P_{\text{бруса}} + P_{\text{груза}}\]

где:

• \(F_A\) - сила Архимеда, действующая на брус;
• \(P_{\text{бруса}}\) - вес бруса;
• \(P_{\text{груза}}\) - вес груза.

• Шаг 2: Выразим силу Архимеда и веса через известные величины:

\[\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{бруса}} \cdot g \cdot V_{\text{бруса}} + m_{\text{груза}} \cdot g\]

где:

• \(\rho_{\text{воды}}\) - плотность воды;
• \(g\) - ускорение свободного падения;
• \(V_{\text{погр}}\) - объем погруженной части бруса;
• \(\rho_{\text{бруса}}\) - плотность бруса;
• \(V_{\text{бруса}}\) - объем бруса;
• \(m_{\text{груза}}\) - масса груза.

• Шаг 3: Выразим объемы через площадь основания и длину бруса:

\[V_{\text{погр}} = S \cdot h_{\text{погр}}\] \[V_{\text{бруса}} = S \cdot l\]

где:

• \(S\) - площадь основания бруса;
• \(h_{\text{погр}}\) - высота погруженной части бруса;
• \(l\) - длина бруса.

Подставим в уравнение равновесия:

\[\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot S \cdot h_{\text{погр}} = \rho_{\text{бруса}} \cdot g \cdot S \cdot l + m_{\text{груза}} \cdot g\]

Разделим обе части уравнения на \(g\):

\[\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h_{\text{погр}} = \rho_{\text{бруса}} \cdot S \cdot l + m_{\text{груза}}\]

Выразим площадь основания бруса \(S\):

\[S = \frac{m_{\text{груза}}}{\rho_{\text{воды}} \cdot h_{\text{погр}} - \rho_{\text{бруса}} \cdot l}\]

Чтобы брус мог удержать груз, он должен быть погружен не полностью, то есть \(h_{\text{погр}} < l\). При этом, чтобы найти минимальную площадь, примем, что брус погружен почти полностью, то есть \(h_{\text{погр}} \approx l\):

\[S \approx \frac{m_{\text{груза}}}{l \cdot (\rho_{\text{воды}} - \rho_{\text{бруса}})} = \frac{60 \,\text{кг}}{2 \,\text{м} \cdot (1000 - 400) \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{60}{2 \cdot 600} \,\text{м}^2 = \frac{1}{20} \,\text{м}^2 = 0.05 \,\text{м}^2\]

В данной задаче, чтобы определить площадь, надо знать, что брусок будет погружен в воду почти на всю свою длину. Следовательно:

\[ S = \frac{m}{\rho_в l - \rho_б l} = \frac{60}{1000 \cdot 2 - 400 \cdot 2} = \frac{60}{1200} = 0.05 \text{м}^2\]

Ответ: 0,06 м²