Составить уравнения касательных к графику функции \(y = \frac{2}{x}\), проходящих через точку (-1; 6).

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти уравнения касательных к графику функции \(y = \frac{2}{x}\), которые проходят через точку \((-1, 6)\). 1. Общий вид уравнения касательной: Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\) имеет вид: \[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\] 2. Находим производную функции: Наша функция \(f(x) = \frac{2}{x} = 2x^{-1}\). Найдем её производную: \[f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\] 3. Подставляем производную и функцию в уравнение касательной: \[y = -\frac{2}{x_0^2}(x - x_0) + \frac{2}{x_0}\] 4. Учитываем, что касательная проходит через точку (-1, 6): Подставляем координаты точки \((-1, 6)\) в уравнение касательной: \[6 = -\frac{2}{x_0^2}(-1 - x_0) + \frac{2}{x_0}\] 5. Решаем уравнение относительно \(x_0\): Упростим и решим уравнение: \[6 = \frac{2}{x_0^2} + \frac{2}{x_0} + \frac{2}{x_0}\] \[6 = \frac{2}{x_0^2} + \frac{4}{x_0}\] Умножим обе части на \(x_0^2\): \[6x_0^2 = 2 + 4x_0\] \[6x_0^2 - 4x_0 - 2 = 0\] Разделим обе части на 2: \[3x_0^2 - 2x_0 - 1 = 0\] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16\). Корни: \[x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}\] \[x_{01} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1\] \[x_{02} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\] 6. Находим уравнения касательных для каждого \(x_0\): а) Для \(x_{01} = 1\): \[f(x_{01}) = \frac{2}{1} = 2\] \[f'(x_{01}) = -\frac{2}{1^2} = -2\] Уравнение касательной: \[y = -2(x - 1) + 2 = -2x + 2 + 2 = -2x + 4\] б) Для \(x_{02} = -\frac{1}{3}\): \[f(x_{02}) = \frac{2}{-\frac{1}{3}} = -6\] \[f'(x_{02}) = -\frac{2}{(-\frac{1}{3})^2} = -\frac{2}{\frac{1}{9}} = -18\] Уравнение касательной: \[y = -18(x + \frac{1}{3}) - 6 = -18x - 6 - 6 = -18x - 12\] 7. Итоговые уравнения касательных: Первая касательная: \(y = -2x + 4\) Вторая касательная: \(y = -18x - 12\) Ответ: Уравнения касательных: \(y = -2x + 4\) и \(y = -18x - 12\).