Составьте диагностические задания по темам, которые ученики усвоили хуже всего: сложение дробей с разными знаменателями; перевод процентов в десятичную дробь в задачах на скидку; перенос слагаемых в уравнении. Для каждой темы подготовьте базовую, стандартную и усложнённую версии. Проверьте, что базовую версию нельзя выполнить, просто следуя механической инструкции, и добавьте к ней пошаговую инструкцию, которая помогает ученику рассуждать самостоятельно.

Во всех трёх вариантах каждой темы проверяется одна цель: умеет ли ученик применять соответствующее правило, а не только воспроизводить формулировку. В каждой версии предполагается до 5–7 минут на выполнение.

1. Сложение дробей с разными знаменателями

Базовая версия — задание: Вычисли \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\). Покажи, как ты рассуждал.

Пошаговая инструкция:

1. Подумай, можно ли складывать дроби, если их знаменатели разные. Объясни почему.
2. Представь обе дроби в долях одинакового размера. Найди общий знаменатель.
3. Замени дроби равными им дробями с общим знаменателем.
4. Сложи числители, а знаменатель оставь прежним.
5. Проверь, можно ли сократить результат, и объясни, почему ответ разумен.

Решение: общий знаменатель для 3 и 4 — 12. Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\), а \(\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\). Складываем доли одинакового размера: \(\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\). Сократить дробь нельзя.

Стандартная версия — задание: Вычисли \(\frac{5}{6}+\frac{3}{8}\). Запиши преобразования и проверь результат.

Решение: общий знаменатель — 24. \(\frac{5}{6}=\frac{20}{24}\), \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\). Поэтому \(\frac{20}{24}+\frac{9}{24}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24}\). Проверка: сумма больше 1, поскольку \(\frac{5}{6}>\frac{3}{4}\), а \(\frac{3}{8}>\frac{1}{4}\).

Усложнённая версия — задание: В первый день прочитали \(\frac{2}{5}\) книги, а во второй — \(\frac{1}{3}\) книги. Какую часть книги прочитали за два дня? Какая часть осталась?

Решение: прочитали \(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}\) книги. Осталось \(1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}\) книги.

2. Перевод процентов в десятичную дробь в задачах на скидку

Базовая версия — задание: Рюкзак стоит 800 рублей. Скидка — 15%. Найди цену после скидки и покажи ход решения.

Пошаговая инструкция:

1. Определи, что означает 15% от цены: это часть первоначальной стоимости или новая цена?
2. Чтобы найти долю от величины, переведи проценты в десятичную дробь: раздели число процентов на 100.
3. Умножь первоначальную цену на полученную долю и найди сумму скидки.
4. Вычти сумму скидки из первоначальной цены.
5. Проверь: цена после скидки должна быть меньше первоначальной.

Решение: \(15\%=0.15\). Сумма скидки: \(800\cdot0.15=120\) рублей. Новая цена: \(800-120=680\) рублей.

Стандартная версия — задание: Куртка стоила 2400 рублей. После скидки 12% покупатель заплатил за неё. Сколько рублей он заплатил?

Решение: после скидки остаётся \(100\%-12\%=88\%=0.88\) первоначальной цены. \(2400\cdot0.88=2112\) рублей.

Усложнённая версия — задание: Цена обуви после скидки 20% составляет 3600 рублей. Какова была цена до скидки? Покажи, почему нельзя просто прибавить 20% к 3600.

Решение: после скидки осталось 80% первоначальной цены, то есть \(0.8\) от неё. Если первоначальная цена — \(x\), то \(0.8x=3600\), откуда \(x=3600:0.8=4500\) рублей. Нельзя прибавить к 3600 его 20%: скидка рассчитывалась от первоначальной цены, а не от цены после скидки.

3. Перенос слагаемых в уравнении

Базовая версия — задание: Реши уравнение \(x+7=19\). Объясни, как найти неизвестное и как проверить ответ.

Пошаговая инструкция:

1. Назови неизвестное и действие, которое выполняется с ним в левой части уравнения.
2. Чтобы оставить неизвестное одно, выполни обратное действие над обеими частями уравнения.
3. Вычисли значение неизвестного.
4. Подставь полученное значение в исходное уравнение и проверь равенство.

Решение: вычтем 7 из обеих частей: \(x+7-7=19-7\), поэтому \(x=12\). Проверка: \(12+7=19\).

Стандартная версия — задание: Реши уравнение \(4x+9=29\). Покажи преобразования и проверь корень подстановкой.

Решение: \(4x+9=29\); вычтем 9 из обеих частей: \(4x=20\); разделим обе части на 4: \(x=5\). Проверка: \(4\cdot5+9=29\).

Усложнённая версия — задание: Реши уравнение \(5x-8=2x+13\). Объясни, почему слагаемые можно переносить между частями только с изменением знака, и проверь ответ.

Решение: вычтем \(2x\) из обеих частей и прибавим 8 к обеим частям: \(5x-2x=13+8\). Получаем \(3x=21\), значит, \(x=7\). При записи переноса меняется знак, потому что фактически к обеим частям уравнения прибавляют противоположное слагаемое. Проверка: левая часть \(5\cdot7-8=27\), правая часть \(2\cdot7+13=27\).

Базовые задания требуют не только выполнить вычисление, но и объяснить выбор действия или проверить результат. Поэтому один лишь набор механических команд не подменяет понимание темы: ученик должен определить, какое правило применимо и почему.