Солнце скрылось за тучами, и начался дождь. Запятая ставится между двумя простыми предложениями, соединёнными одиночным союзом и.
Когда закончился дождь, выглянуло солнце и засияла радуга — яркая, разноцветная и необыкновенно красивая. Запятая отделяет придаточную часть от главной; тире ставится перед распространённым приложением, поясняющим слово «радуга».