Составьте полное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 9, свободный член равен 25, и при этом само уравнение имеет единственный положительный корень. Проверьте верность составленного уравнения, вычислив дискриминант.

Решение:

Полное квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \). Нам дано:

• Старший коэффициент \( a = 9 \).
• Свободный член \( c = 25 \).
• Уравнение имеет единственный положительный корень.

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) должен быть равен нулю.

Подставим известные значения:

\[ b^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 0 \]\[ b^2 - 36 \cdot 25 = 0 \]\[ b^2 - 900 = 0 \]\[ b^2 = 900 \]\[ b = \pm 30 \]

Теперь у нас есть два возможных уравнения:

1. \( 9x^2 + 30x + 25 = 0 \)
2. \( 9x^2 - 30x + 25 = 0 \)

Найдем корень для первого уравнения, где \( b = 30 \):

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-30}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \]

Этот корень отрицательный.

Найдем корень для второго уравнения, где \( b = -30 \):

\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \]

Этот корень положительный, что соответствует условию задачи.

Проверка дискриминанта для уравнения \( 9x^2 - 30x + 25 = 0 \):

\[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0 \]

Дискриминант равен нулю, значит, корень единственный. Этот корень \( x = 5/3 \) является положительным.

Ответ: Уравнение \( 9x^2 - 30x + 25 = 0 \).