Составьте уравнение касательной к графику функции $$y = \frac{2}{x}$$, проходящей через точку M(0; 2).

Для решения этой задачи, нужно найти уравнение касательной к графику заданной функции, проходящей через заданную точку. Важно помнить, что точка M(0; 2) не лежит на графике функции $$y = \frac{2}{x}$$, так как при x = 0 функция не определена. Это означает, что точка M(0; 2) является внешней точкой, через которую проходит касательная к графику функции. 1. Общий вид уравнения касательной: Уравнение касательной к графику функции $$y = f(x)$$ в точке $$x_0$$ имеет вид: $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ 2. Находим производную функции: $$f(x) = \frac{2}{x} = 2x^{-1}$$ $$f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$$ 3. Вычисляем значение функции и её производной в точке касания $$x_0$$: $$f(x_0) = \frac{2}{x_0}$$ $$f'(x_0) = -\frac{2}{x_0^2}$$ 4. Записываем уравнение касательной в общем виде: $$y = -\frac{2}{x_0^2}(x - x_0) + \frac{2}{x_0}$$ 5. Используем условие прохождения касательной через точку M(0; 2): Подставляем координаты точки M(0; 2) в уравнение касательной: $$2 = -\frac{2}{x_0^2}(0 - x_0) + \frac{2}{x_0}$$ $$2 = \frac{2}{x_0} + \frac{2}{x_0}$$ $$2 = \frac{4}{x_0}$$ 6. Находим $$x_0$$: $$x_0 = \frac{4}{2} = 2$$ 7. Находим значение производной в точке касания $$x_0 = 2$$: $$f'(2) = -\frac{2}{2^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 8. Находим значение функции в точке касания $$x_0 = 2$$: $$f(2) = \frac{2}{2} = 1$$ 9. Записываем уравнение касательной: $$y = -\frac{1}{2}(x - 2) + 1$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 1 + 1$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$ Ответ: $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$