Составьте уравнение касательной к графику функции $$y = 2 + \sin x$$ в точке с абсциссой $$x_0 = \frac{\pi}{4}$$. Выберите вариант ответа.

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции, нам понадобятся следующие шаги: 1. Найти значение функции в точке касания. 2. Найти производную функции. 3. Найти значение производной в точке касания (это будет угловой коэффициент касательной). 4. Использовать формулу уравнения касательной: $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$. Шаг 1: Находим значение функции в точке касания $$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = 2 + \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Шаг 2: Находим производную функции $$f'(x) = (2 + \sin x)' = \cos x$$ Шаг 3: Находим значение производной в точке касания $$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Шаг 4: Составляем уравнение касательной $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4})$$ Раскроем скобки: $$y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{8}$$ Приведем к общему знаменателю и упростим: $$y = \frac{16 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}x - \sqrt{2}\pi}{8}$$ $$y = \frac{4\sqrt{2}}{8}x + \frac{16 + 4\sqrt{2} - \sqrt{2}\pi}{8}$$ $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{8 + 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}\pi}{2}}{4}$$ $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{8 + 2\sqrt{2} - \frac{\pi \sqrt{2}}{2}}{4}$$ Проверим предложенные варианты ответа, чтобы найти соответствие. Рассмотрим последний вариант ответа: $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{8 + 2\sqrt{2} - \pi}{4}$$ Ответ: $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{8 + 2\sqrt{2} - \pi}{4}$$