0. 19. Составьте уравнение касательной к графику функции y = f(x), проходящей через точку с абсциссой a: a) f(x) = x³ - 6x², a = 2; б) f(x) = 1/x + 1/x², a = 1; в) f(x) = 12/√x - x, a = 9; г) f(x) = 3x³ - 5x² - 2, a = 2; д) f(x) = x³ – 3√x, a = 1; e) f(x) = 1/x³ + 6√x, a = 1. 20. Составьте уравнение той касательной к графику функции y = g(x), которая параллельна указанной прямой: a) g(x) = 1/3x³ - 2, y = 9x - 1; б) g(x) = -x³ + 3x² - 6x, y = 2 − x;

Давай решим несколько задач из этих заданий. Задача 0.19 a) Составить уравнение касательной к графику функции $$f(x) = x^3 - 6x^2$$ в точке с абсциссой $$a = 2$$. 1. Найдем значение функции в точке $$x = a = 2$$: $$f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 = 8 - 6(4) = 8 - 24 = -16$$ Итак, точка касания: $$(2, -16)$$. 2. Найдем производную функции $$f(x)$$: $$f'(x) = 3x^2 - 12x$$ 3. Найдем значение производной в точке $$x = a = 2$$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 3(4) - 24 = 12 - 24 = -12$$ Это угловой коэффициент касательной $$k = -12$$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$. Подставляем найденные значения: $$y = -12(x - 2) - 16$$ $$y = -12x + 24 - 16$$ $$y = -12x + 8$$ Ответ: Уравнение касательной: $$y = -12x + 8$$. Задача 0.19 б) Составить уравнение касательной к графику функции $$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$$ в точке с абсциссой $$a = 1$$. 1. Найдем значение функции в точке $$x = a = 1$$: $$f(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$$ Итак, точка касания: $$(1, 2)$$. 2. Найдем производную функции $$f(x)$$: $$f(x) = x^{-1} + x^{-2}$$ $$f'(x) = -1x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$$ 3. Найдем значение производной в точке $$x = a = 1$$: $$f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3} = -1 - 2 = -3$$ Это угловой коэффициент касательной $$k = -3$$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$. Подставляем найденные значения: $$y = -3(x - 1) + 2$$ $$y = -3x + 3 + 2$$ $$y = -3x + 5$$ Ответ: Уравнение касательной: $$y = -3x + 5$$. Задача 0.19 в) Составить уравнение касательной к графику функции $$f(x) = \frac{12}{\sqrt{x}} - x$$ в точке с абсциссой $$a = 9$$. 1. Найдем значение функции в точке $$x = a = 9$$: $$f(9) = \frac{12}{\sqrt{9}} - 9 = \frac{12}{3} - 9 = 4 - 9 = -5$$ Итак, точка касания: $$(9, -5)$$. 2. Найдем производную функции $$f(x)$$: $$f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x$$ $$f'(x) = 12(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} - 1 = -6x^{-\frac{3}{2}} - 1 = -\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} - 1$$ 3. Найдем значение производной в точке $$x = a = 9$$: $$f'(9) = -\frac{6}{9^{\frac{3}{2}}} - 1 = -\frac{6}{(\sqrt{9})^3} - 1 = -\frac{6}{3^3} - 1 = -\frac{6}{27} - 1 = -\frac{2}{9} - 1 = -\frac{11}{9}$$ Это угловой коэффициент касательной $$k = -\frac{11}{9}$$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$. Подставляем найденные значения: $$y = -\frac{11}{9}(x - 9) - 5$$ $$y = -\frac{11}{9}x + 11 - 5$$ $$y = -\frac{11}{9}x + 6$$ Ответ: Уравнение касательной: $$y = -\frac{11}{9}x + 6$$. Задача 0.20 a) Составить уравнение касательной к графику функции $$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2$$, которая параллельна прямой $$y = 9x - 1$$. 1. Найдем производную функции $$g(x)$$: $$g'(x) = x^2$$ 2. Угловой коэффициент прямой $$y = 9x - 1$$ равен 9. Так как касательная параллельна этой прямой, то угловой коэффициент касательной также равен 9. $$g'(x) = 9$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ 3. Найдем значения функции $$g(x)$$ в точках $$x = 3$$ и $$x = -3$$: $$g(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2 = \frac{1}{3}(27) - 2 = 9 - 2 = 7$$ $$g(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 - 2 = \frac{1}{3}(-27) - 2 = -9 - 2 = -11$$ Итак, точки касания: $$(3, 7)$$ и $$(-3, -11)$$. 4. Уравнение касательной имеет вид: $$y = g'(a)(x - a) + g(a)$$. Для точки $$(3, 7)$$: $$y = 9(x - 3) + 7$$ $$y = 9x - 27 + 7$$ $$y = 9x - 20$$ Для точки $$(-3, -11)$$: $$y = 9(x + 3) - 11$$ $$y = 9x + 27 - 11$$ $$y = 9x + 16$$ Ответ: Уравнения касательных: $$y = 9x - 20$$ и $$y = 9x + 16$$. Внимательно изучи эти примеры, и ты сможешь решить остальные задачи самостоятельно! Удачи!