6. Составьте уравнение окружности с центром в точке О(- 1; 2), проходящей через точку В(3; - 5).

Задача: Составить уравнение окружности с центром в точке \(O(-1, 2)\), проходящей через точку \(B(3, -5)\). Решение: 1. **Общий вид уравнения окружности:** Уравнение окружности с центром в точке \((a, b)\) и радиусом \(r\) имеет вид: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] 2. **Находим радиус окружности:** Радиус окружности равен расстоянию между центром \(O(-1, 2)\) и точкой \(B(3, -5)\), лежащей на окружности. Используем формулу расстояния между двумя точками: \[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставляем координаты точек \(O(-1, 2)\) и \(B(3, -5)\): \[r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4^2 + 49} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\] Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{65}\). 3. **Записываем уравнение окружности:** Теперь, когда мы знаем координаты центра \(O(-1, 2)\) и радиус \(r = \sqrt{65}\), можем записать уравнение окружности: \[(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{65})^2\] Упрощаем: \[(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65\] Ответ: Уравнение окружности: \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65\). ### Развернутый ответ Для решения данной задачи, нам нужно найти уравнение окружности с заданным центром и проходящей через указанную точку. Вот основные шаги: 1. Вспомним общий вид уравнения окружности. Если центр окружности находится в точке \((a, b)\), а радиус равен \(r\), то уравнение выглядит так: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\] 2. Определим радиус окружности. Поскольку окружность проходит через точку \(B(3, -5)\) и имеет центр в точке \(O(-1, 2)\), радиус равен расстоянию между этими двумя точками. Используем формулу для расстояния между двумя точками: \[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставим координаты точек и найдем радиус: \[r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\] 3. Запишем уравнение окружности. Подставим координаты центра \((-1, 2)\) и найденный радиус \(\sqrt{65}\) в общее уравнение окружности: \[(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{65})^2\] Упростим уравнение: \[(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65\] Таким образом, уравнение окружности с центром в точке \(O(-1, 2)\), проходящей через точку \(B(3, -5)\) имеет вид \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 65\).