Исправленный текст с расставленными знаками препинания и графическим объяснением:

1. Увидев меня, он протянул мне руку. (Выделено запятой деепричастие «увидев», так как оно обособляется, когда выступает в роли обстоятельства.)
2. Под вывороченными корнями старой сосны, поваленной во время бури, помещалось это разбойничье гнёздышко. (Выделено запятыми определение «поваленной во время бури», выраженное причастным оборотом и стоящее после определяемого слова «сосны».)
3. Мать встретила сына у околицы, и, взволнованная свиданием, засыпала его вопросами о жизни в городе. (Выделены запятыми вводное сочетание "и, взволнованная свиданием", которое вносит дополнительную информацию и выражает чувство матери.)
4. Рассматривая альбом, я нашёл старинные фотографии и пересмотрел их с интересом. (Выделено запятой деепричастие «рассматривая», так как оно обособляется, когда выступает в роли обстоятельства.)
5. В вёдрах, наполненных картофелем, лежало и несколько яблок. (Выделено запятыми определение «наполненных картофелем», выраженное причастным оборотом и стоящее после определяемого слова «в вёдрах».)
6. Я познакомился с писателем, увлечённым историей своего края. (Выделено запятой определение «увлечённым историей своего края», выраженное причастным оборотом и стоящее после определяемого слова «писателем».)
7. Любящий меня пёс, звонко лая, радуется моему приходу с работы. (Выделено запятыми деепричастие «звонко лая», так как оно обособляется, когда выступает в роли обстоятельства.)