21. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x - количество верных ответов, y - количество неверных ответов, z - количество вопросов без ответа. Тогда x + y + z = 25 7x - 9y + 0z = 56 Из первого уравнения выразим z: z = 25 - x - y. Так как по условию ученик хотя бы раз ошибся, то y > 0. Из второго уравнения выразим x: 7x = 56 + 9y, x = 8 + \frac{9}{7}y. Так как x - целое число, то 9y должно делиться на 7, значит, y должно делиться на 7. Так как y > 0, то y = 7, 14 и т.д. Если y = 7, то x = 8 + 9 = 17. z = 25 - 17 - 7 = 1. Если y = 14, то x = 8 + 18 = 26, что невозможно, так как всего 25 вопросов. Итак, x = 17, y = 7, z = 1. Ответ: 17