Справедливо ли неравенство: a) $$\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$$; б) $$\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$$; в) $$\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$$?

Рассмотрим каждое неравенство отдельно: a) $$\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$$ Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 700 - это 700. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 100: $$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 100}{7 \cdot 100} = \frac{100}{700}$$ Теперь сравним: $$\frac{100}{700} < \frac{111}{700}$$. Это неравенство справедливо, так как 100 < 111. б) $$\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$$ Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7500 и 25 - это 7500. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на 300: $$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 300}{25 \cdot 300} = \frac{300}{7500}$$ Теперь сравним: $$\frac{307}{7500} > \frac{300}{7500}$$. Это неравенство справедливо, так как 307 > 300. в) $$\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$$ Чтобы сравнить эти дроби, упростим их, а затем приведем к общему знаменателю. $$\frac{11}{825} = \frac{11}{11 \cdot 75} = \frac{1}{75}$$ $$\frac{16}{1155} = \frac{16}{5 \cdot 231} = \frac{16}{5 \cdot 3 \cdot 77} = \frac{16}{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11}$$ Упростить вторую дробь не получается. Приведем к общему знаменателю 75 и 1155: Разложим 75 и 1155 на простые множители: $$75 = 3 \cdot 5^2$$ $$1155 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$$ Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет: $$3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 = 5775$$ Теперь приведем дроби к этому знаменателю: $$\frac{1}{75} = \frac{1 \cdot 77}{75 \cdot 77} = \frac{77}{5775}$$ $$\frac{16}{1155} = \frac{16 \cdot 5}{1155 \cdot 5} = \frac{80}{5775}$$ Сравним: $$\frac{77}{5775} < \frac{80}{5775}$$. Это неравенство справедливо, так как 77 < 80. Ответ: Все три неравенства (а, б, в) справедливы.