7.361 Справедливо ли равенство: a) 0,777... = \(\frac{7}{9}\); б) 0,208(3) = \(\frac{5}{24}\)?

a) 0,777... = \(\frac{7}{9}\)

Пусть x = 0,777... Тогда 10x = 7,777... Вычтем из второго уравнения первое:

10x - x = 7,777... - 0,777...

9x = 7

x = \(\frac{7}{9}\)

Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Да, справедливо.

б) 0,208(3) = \(\frac{5}{24}\)?

Представим 0,208(3) в виде обыкновенной дроби.

Пусть x = 0,208(3). Тогда 1000x = 208,333... и 10000x = 2083,333...

Вычтем из второго уравнения первое:

10000x - 1000x = 2083,333... - 208,333...

9000x = 1875

x = \(\frac{1875}{9000}\) = \(\frac{75}{360}\) = \(\frac{15}{72}\) = \(\frac{5}{24}\)

Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Да, справедливо.