Спростіть вираз і знайдіть його значення, якщо a = 5.

Рішення:

Дано вираз: \( \frac{7}{2a-4} - \frac{12}{a^2-4} - \frac{3}{a+2} \).

1. Знайдемо спільний знаменник. Розкладемо знаменники на множники:
• \( 2a-4 = 2(a-2) \)
• \( a^2-4 = (a-2)(a+2) \)
• \( a+2 \)
2. Спільний знаменник: \( 2(a-2)(a+2) \).
3. Зведемо дроби до спільного знаменника:
• \( \frac{7}{2(a-2)} = \frac{7 \cdot (a+2)}{2(a-2)(a+2)} \)
• \( \frac{12}{(a-2)(a+2)} = \frac{12 \cdot 2}{2(a-2)(a+2)} = \frac{24}{2(a-2)(a+2)} \)
• \( \frac{3}{a+2} = \frac{3 \cdot 2(a-2)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{6(a-2)}{2(a-2)(a+2)} \)
4. Спростимо чисельник:
• \( 7(a+2) - 24 - 6(a-2) = 7a + 14 - 24 - 6a + 12 = (7a - 6a) + (14 - 24 + 12) = a + 2 \)
5. Скоротимо дріб:
• \( \frac{a+2}{2(a-2)(a+2)} = \frac{1}{2(a-2)} \)
6. Підставимо \( a = 5 \):
• \( \frac{1}{2(5-2)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \)

Відповідь: \( \frac{1}{6} \).