Сравнить: 2√3 и 3√2; 4√8 и 2√21. Рационализировать знаменатель: 3/√5; 1/(2 − √3); 2/(3√2).

Обе части неравенств положительны, поэтому для сравнения можно сравнить их квадраты.

1. \((2\sqrt3)^2=12\), а \((3\sqrt2)^2=18\), значит \(2\sqrt3<3\sqrt2\).
2. \(4\sqrt8=8\sqrt2\). Квадраты положительных чисел: \((4\sqrt8)^2=128\), \((2\sqrt{21})^2=84\), поэтому \(4\sqrt8>2\sqrt{21}\).

Рационализируем знаменатели:

1. \(\dfrac3{\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{5}\).
2. \(\dfrac1{2-\sqrt3}\cdot\dfrac{2+\sqrt3}{2+\sqrt3}=\dfrac{2+\sqrt3}{4-3}=2+\sqrt3\).
3. \(\dfrac2{3\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=\dfrac{2\sqrt2}{6}=\dfrac{\sqrt2}{3}\).

Ответ: 2√3 < 3√2; 4√8 > 2√21. Рационализированные выражения: 3√5/5; 2 + √3; √2/3.