Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть?

Да, такое возможно. Представим себе следующую ситуацию. Пусть есть люди с именами: 1. Иван Петров 2. Иван Сидоров 3. Сергей Петров 4. Сергей Сидоров. У каждого человека есть совпадение с двумя другими. У Ивана Петрова совпадения с Иваном Сидоровым (имя) и Сергеем Петровым (фамилия). У Ивана Сидорова совпадения с Иваном Петровым (имя) и Сергеем Сидоровым (фамилия), У Сергея Петрова совпадения с Иваном Петровым (фамилия) и Сергеем Сидоровым (имя). У Сергея Сидорова совпадения с Иваном Сидоровым (фамилия) и Сергеем Петровым (имя). И нет ни у кого трех совпадений.