Среди перечисленных вариантов укажите правильные производные для $f(x) = ctg(x)$

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно найти производную функции $f(x) = ctg(x)$. Известно, что $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$. Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ В нашем случае: $u = cos(x)$, $u' = -sin(x)$ $v = sin(x)$, $v' = cos(x)$ Тогда: $\begin{aligned} (ctg(x))' &= \left(\frac{cos(x)}{sin(x)}\right)' \\ &= \frac{-sin(x) \cdot sin(x) - cos(x) \cdot cos(x)}{sin^2(x)} \\ &= \frac{-sin^2(x) - cos^2(x)}{sin^2(x)} \\ &= \frac{-(sin^2(x) + cos^2(x))}{sin^2(x)} \\ &= \frac{-1}{sin^2(x)} \end{aligned}$ Таким образом, производная $f(x) = ctg(x)$ равна $-\frac{1}{sin^2(x)}$. Следовательно, правильный ответ: в) $-\frac{1}{sin^2(x)}$ **Ответ: в) $-\frac{1}{sin^2(x)}$** Разъяснение для школьника: Итак, чтобы найти производную котангенса, мы использовали формулу производной частного. Сначала мы выразили котангенс как отношение косинуса к синусу. Затем, применив формулу и упростив выражение, мы получили, что производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса. Этот результат соответствует варианту 'в' среди предложенных ответов.