21 1) среди семи учащихся класса в течение 7 дней; 2) среди девяти учащихся класса в течение 9 дней? Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была цифра 3; 2) первой была цифра 4; 3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1; 4) первой была цифра 2, а последней - цифра 4; 5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке; 6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

Решаем задачу на комбинаторику, а именно на размещение без повторений.

1. Если последней цифра 3, то на остальные 4 места можно поставить любые из оставшихся 4 цифр. Число таких размещений равно: $$A_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$.
2. Если первой цифра 4, то на остальные 4 места можно поставить любые из оставшихся 4 цифр. Число таких размещений равно: $$A_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$.
3. Если первой цифра 5, а второй цифра 1, то на остальные 3 места можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Число таких размещений равно: $$A_3^3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$.
4. Если первой цифра 2, а последней цифра 4, то на остальные 3 места можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Число таких размещений равно: $$A_3^3 = \frac{3!}{(3-3)!} = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$.
5. Если первыми цифры 3 и 4, то есть два варианта: 34* или 43*. На остальные 3 места можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Число таких размещений равно: $$2 \cdot A_3^3 = 2 \cdot \frac{3!}{(3-3)!} = 2 \cdot 3! = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$.
6. Если последними цифры 1 и 2, то есть два варианта: *12 или *21. На остальные 3 места можно поставить любые из оставшихся 3 цифр. Число таких размещений равно: $$2 \cdot A_3^3 = 2 \cdot \frac{3!}{(3-3)!} = 2 \cdot 3! = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$.

Ответ: 1) 24; 2) 24; 3) 6; 4) 6; 5) 12; 6) 12