Средняя точка минутной стрелки часов находится на расстоянии 10 см от центра циферблата. Определите путь l и перемещение s этой точки за 10 мин, 30 мин, 45 мин и за 1 ч.

Для решения задачи нам потребуется вспомнить, что такое путь и перемещение, а также как они связаны с движением по окружности.

Путь (l) – это длина траектории, пройденной точкой за определенное время.

Перемещение (s) – это вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения.

В нашем случае точка на минутной стрелке движется по окружности радиусом $$R = 10 ext{ см}$$. Длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 10 = 20\pi ext{ см}$$.

Теперь рассмотрим каждый интервал времени:

1. 10 минут:

   Минутная стрелка проходит полный круг за 60 минут. За 10 минут она пройдет $$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$$ часть окружности.

   Путь: $$l = \frac{1}{6} \cdot 20\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 ext{ см}$$.

   Чтобы найти перемещение, нужно знать угол, на который повернулась стрелка. Угол равен $$\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ$$. Перемещение можно найти как хорду, стягивающую дугу в 60 градусов. Тогда $$s = 2R \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot 0.5 = 10 ext{ см}$$.

2. 30 минут:

   За 30 минут стрелка пройдет половину окружности.

   Путь: $$l = \frac{1}{2} \cdot 20\pi = 10\pi \approx 31.42 ext{ см}$$.

   Перемещение будет равно диаметру окружности: $$s = 2R = 2 \cdot 10 = 20 ext{ см}$$.

3. 45 минут:

   За 45 минут стрелка пройдет $$\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$ окружности.

   Путь: $$l = \frac{3}{4} \cdot 20\pi = 15\pi \approx 47.12 ext{ см}$$.

   Угол поворота: $$\frac{3}{4} \cdot 360^\circ = 270^\circ$$. Перемещение можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный радиусами и перемещением. Тогда $$s = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 ext{ см}$$.

4. 1 час:

   За 1 час стрелка пройдет полный круг.

   Путь: $$l = 20\pi \approx 62.83 ext{ см}$$.

   Перемещение равно нулю, так как начальная и конечная точки совпадают: $$s = 0 ext{ см}$$.

Ответ:

• За 10 минут: путь $$l = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 ext{ см}$$, перемещение $$s = 10 ext{ см}$$.
• За 30 минут: путь $$l = 10\pi \approx 31.42 ext{ см}$$, перемещение $$s = 20 ext{ см}$$.
• За 45 минут: путь $$l = 15\pi \approx 47.12 ext{ см}$$, перемещение $$s = 10\sqrt{2} \approx 14.14 ext{ см}$$.
• За 1 час: путь $$l = 20\pi \approx 62.83 ext{ см}$$, перемещение $$s = 0 ext{ см}$$.