15. Столяр вырезал полку для шкафа в виде пятиугольника, в основе – квадрат 400 × 400 мм, от которого отрезан один угол (см. рисунок) так, что длина скошенной кромки равна 240 мм. Теперь столяру нужно вырезать похожую полку, у которой три кромки выдаются на 40 мм по сравнению с первой полкой. Какова будет длина скошенной кромки у второй полки? Считайте tg 22,5° ≈ 0, 4142. Результат округлите до целого числа миллиметров. Запишите решение и ответ.

Пусть *x* — катет равнобедренного прямоугольного треугольника, который отрезается от угла квадрата. Тогда гипотенуза (скошенная кромка) равна $$x\sqrt{2}$$. На первом этапе: $$x\sqrt{2} = 240$$ $$x = \frac{240}{\sqrt{2}} = 120\sqrt{2}$$ На втором этапе размеры квадрата увеличиваются на 40 мм с каждой стороны, значит, катет отрезаемого треугольника увеличивается на 40 мм: $$x' = x + 40 = 120\sqrt{2} + 40$$ Новая длина скошенной кромки будет равна: $$L = x'\sqrt{2} = (120\sqrt{2} + 40)\sqrt{2} = 120 \cdot 2 + 40\sqrt{2} = 240 + 40\sqrt{2}$$ Чтобы найти $$\sqrt{2}$$, можно использовать тот факт, что $$\text{tg } 22.5^\circ \approx 0.4142$$, и $$\text{tg } 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1$$, следовательно, $$\sqrt{2} \approx 1.4142$$. $$L = 240 + 40 \cdot 1.4142 = 240 + 56.568 = 296.568$$ Округляем до целого числа: 297 мм. Ответ: 297 мм