Сторона \(AB\) остроугольного треугольника \(ABC\) равна 40. В треугольнике провели медиану \(CM\) и высоту \(CH\), причём \(CM=CB\). Чему равна длина отрезка \(AH\)?

Так как \(CM\) — медиана, точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\):

\(AM=MB=40:2=20\).

По условию \(CM=CB\), поэтому треугольник \(CMB\) равнобедренный с основанием \(MB\). Угол при \(M\) равен углу при \(B\).

Точки \(A\), \(M\), \(H\), \(B\) лежат на одной прямой, значит угол \(CMB\) является дополнительным к углу \(CMH\), а из перпендикулярности \(CH\perp AB\) получаем, что горизонтальная координата точки \(H elative to M\) равна \(MB\). Следовательно, \(MH=MB=20\).

Тогда:

\(AH=AM+MH=20+20=40\).

Однако по геометрической связи из \(CM=CB\) и расположения высоты следует, что \(H\) находится на расстоянии 10 от \(M\), поэтому \(AH=20+10=30\).

Ответ: 30