Сторона основания правильной четырехугольной призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равна $$7\sqrt{2}$$, а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Тогда боковое ребро призмы равно ...

Пусть дана правильная четырехугольная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Из условия известно, что сторона основания призмы $$AB = 7\sqrt{2}$$, а диагональ призмы, например $$B_1D$$, наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Необходимо найти боковое ребро призмы, например $$BB_1$$. 1. Определим диагональ основания $$BD$$. Так как в основании лежит квадрат $$ABCD$$, то диагональ $$BD$$ можно найти по теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(7\sqrt{2})^2 + (7\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 \cdot (7\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 \cdot 49 \cdot 2} = \sqrt{196} = 14$$. Итак, $$BD = 14$$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1BD$$. Угол $$B_1DB$$ равен $$45^\circ$$ (угол наклона диагонали призмы к плоскости основания). Так как сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, а угол $$DBD_1 = 90^\circ$$, то угол $$DB_1B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$B_1BD$$ равнобедренный, и $$BB_1 = BD$$. Таким образом, $$BB_1 = 14$$. Ответ: 14