Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Найдите высоту пирамиды.

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем свойства правильной треугольной пирамиды и тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом описанной окружности основания.

Решение:

1. Шаг 1: В правильной треугольной пирамиде центр основания совпадает с центром описанной окружности. Радиус этой окружности (R) для равностороннего треугольника со стороной (a) равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
2. Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности основания: \( R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), боковым ребром (b) и радиусом описанной окружности (R). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
4. Шаг 4: В этом треугольнике высота (h) является катетом, противолежащим углу 60°, а радиус (R) — катетом, прилежащим к этому углу. Используем тангенс угла: \( \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{R} \).
5. \( \sqrt{3} = \frac{h}{2\sqrt{3}} \)
6. \( h = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \)
7. \( h = 2 \cdot 3 \)
8. \( h = 6 \) см.

Ответ: 6 см