Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите: а) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{BC}$$|; б) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{AC}$$|; в) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{CB}$$|; г) |$$\vec{BA}$$ - $$\vec{BC}$$|; д) |$$\vec{AB}$$ - $$\vec{AC}$$|.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной a.

a) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{BC}$$| = |$$\vec{AC}$$| = a, так как $$\vec{AB}$$ + $$\vec{BC}$$ = $$\vec{AC}$$ по правилу сложения векторов.

б) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{AC}$$| = |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{AC}$$| = |$$\vec{AD}$$|, где D - точка, такая что ABCD - параллелограмм. Так как ABC - равносторонний треугольник, то ABCD - ромб. Диагональ AD ромба ABCD равна $$a\sqrt{3}$$. Следовательно, |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{AC}$$| = $$a\sqrt{3}$$.

в) |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{CB}$$| = |$$\vec{AB}$$ - $$\vec{BC}$$| = |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{CF}$$|, где F - точка, такая что $$\vec{BC}$$ = -$$\vec{CF}$$. Тогда AF - вектор, соединяющий начало вектора $$\vec{AB}$$ и конец вектора $$\vec{CF}$$. Рассмотрим треугольник ACF. AC = a, CF = a, ∠ACF = 120°. По теореме косинусов, $$AF^2 = AC^2 + CF^2 - 2 \cdot AC \cdot CF \cdot \cos{120°} = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-1/2) = 3a^2$$. Тогда AF = $$a\sqrt{3}$$. Следовательно, |$$\vec{AB}$$ + $$\vec{CB}$$| = $$a\sqrt{3}$$.

г) |$$\vec{BA}$$ - $$\vec{BC}$$| = |$$\vec{BA}$$ + $$\vec{CE}$$|, где E - точка, такая что $$\vec{BC}$$ = -$$\vec{CE}$$. AE - вектор, соединяющий начало вектора $$\vec{BA}$$ и конец вектора $$\vec{CE}$$. Рассмотрим треугольник ACE. AC = a, CE = a, ∠ACE = 120°. По теореме косинусов, $$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \cdot AC \cdot CE \cdot \cos{120°} = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-1/2) = 3a^2$$. Тогда AE = $$a\sqrt{3}$$. Следовательно, |$$\vec{BA}$$ - $$\vec{BC}$$| = $$a\sqrt{3}$$.

д) |$$\vec{AB}$$ - $$\vec{AC}$$| = |$$\vec{CB}$$| = a, так как $$\vec{AB}$$ - $$\vec{AC}$$ = $$\vec{AB}$$ + $$\vec{CA}$$ = $$\vec{CA}$$ + $$\vec{AB}$$ = $$\vec{CB}$$.

Ответ:

a) a

б) $$a\sqrt{3}$$

в) $$a\sqrt{3}$$

г) $$a\sqrt{3}$$

д) a