4) Сторона ромба равна 29, а диагональ равна 42. Найдите площадь ромба.

Известна сторона ромба и одна из его диагоналей. Нужно найти площадь ромба.

Пусть сторона ромба равна $$a$$, а диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$. Известно, что $$a = 29$$ и $$d_1 = 42$$. Площадь ромба можно найти как $$S = \frac{1}{2}d_1d_2$$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, если рассмотреть половину ромба (прямоугольный треугольник), то половина одной диагонали и половина другой диагонали являются катетами, а сторона ромба - гипотенузой.

Половина первой диагонали равна $$d_1/2 = 42/2 = 21$$. Пусть половина второй диагонали равна $$x$$. Тогда, по теореме Пифагора, $$x^2 + (d_1/2)^2 = a^2$$

$$x^2 + 21^2 = 29^2$$

$$x^2 + 441 = 841$$

$$x^2 = 841 - 441$$

$$x^2 = 400$$

$$x = \sqrt{400} = 20$$

Следовательно, вторая диагональ $$d_2 = 2x = 2 \cdot 20 = 40$$

Теперь можем найти площадь ромба: $$S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 40 = 21 \cdot 40 = 840$$

Ответ: 840