Сторона ромба равна 13, а диагональ равна 10. Найдите площадь ромба.

Решение:

1. Пусть сторона ромба \( a = 13 \) и одна из диагоналей \( d_1 = 10 \).
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
3. Половина диагонали \( \frac{d_1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали, другой половиной диагонали и стороной ромба. По теореме Пифагора: \( (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2 \).
5. Подставим известные значения: \( 5^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 13^2 \).
6. \( 25 + (\frac{d_2}{2})^2 = 169 \).
7. \( (\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 25 = 144 \).
8. \( \frac{d_2}{2} = \sqrt{144} = 12 \).
9. Тогда вторая диагональ \( d_2 = 2 \cdot 12 = 24 \).
10. Площадь ромба вычисляется по формуле: \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \).
11. Подставим значения диагоналей: \( S = \frac{10 \cdot 24}{2} = \frac{240}{2} = 120 \).

Ответ: 120.