Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны ВС. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.

Доказательство:

Для доказательства того, что DL является биссектрисой угла CDA, нам нужно показать, что угол CDL равен углу ADL.

1. Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD, BC = AD.
• Противоположные углы равны: ∠ABC = ∠CDA, ∠BAD = ∠BCD.
• Прилежащие углы в сумме дают 180°: ∠CDA + ∠DAB = 180°.

2. Обозначения:

• Пусть CD = x. Тогда BC = 2x.
• Так как BC = AD, то AD = 2x.
• L — середина BC, следовательно, BL = LC = BC/2 = 2x/2 = x.

3. Рассматриваем треугольник CDL:

• CD = x, CL = x.
• Треугольник CDL — равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠CDL = ∠CLD.

4. Рассматриваем углы:

• Угол ∠CLD и угол ∠LDA являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей DL.
• Следовательно, ∠CLD = ∠LDA.

5. Соединяем полученные равенства:

• Из того, что треугольник CDL равнобедренный, имеем: ∠CDL = ∠CLD.
• Из того, что углы ∠CLD и ∠LDA накрест лежащие, имеем: ∠CLD = ∠LDA.
• Таким образом, ∠CDL = ∠LDA.

6. Вывод:

• Поскольку угол CDA разделен на два равных угла (∠CDL и ∠LDA) отрезком DL, то DL является биссектрисой угла CDA.