25 стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD=45, MD=15, H – точке пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Ответ: AH = 20

Решение:

1. Найдем AM.
   • Дано: AD = 45, MD = 15.
   • Тогда AM = AD - MD = 45 - 15 = 30.
2. Используем свойство прямоугольного треугольника.
   • Так как ВС — диаметр, то угол ВМС — прямой (опирается на диаметр).
   • Треугольник АМС — прямоугольный.
   • Треугольник AHD подобен треугольнику CMD (по двум углам).
3. Найдем HD.
   • CD = AD - AM = 45 - 30 = 15.
4. Из подобия треугольников АНD и CMD следует.
   • AH / CM = HD / MD.
   • Нам нужно найти АН.
5. Выразим CM.
   • \(CM = \sqrt{AC^2 - AM^2}\).
6. Выразим АН.

\[AH = \frac{AM \cdot HD}{MD} = \frac{30 \cdot 15}{15} = 30\]

Ответ: AH = 30