Сторону AB треугольника ΔABC продолжили за вершину B и выбрали на луче AB точку A₁ так, что точка B - середина отрезка AA₁. Сторону BC продолжили за вершину C и отметили на продолжении точку B₁ так, что C - середина BB₁. Аналогично, продолжили сторону CA за вершину A и отметили на продолжении точку C₁ так, что A - середина CC₁. Найдите площадь треугольника ΔA₁B₁C₁, если площадь треугольника ΔABC равна 2.

Пусть S - площадь треугольника ΔABC.

Треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁ имеют каждый высоту, равную высоте треугольника ABC, и основание вдвое больше основания треугольника ABC. Следовательно, площадь каждого из этих треугольников в два раза больше площади треугольника ABC.

$$S_{A_1BC} = S_{AB_1C} = S_{ABC_1} = 2S$$

Далее, рассмотрим треугольники A₁BA₁, B₁CB и C₁AC. Каждый из этих треугольников имеет общее основание с треугольником ABC и высоту, равную длине этого основания. Следовательно, площадь каждого из этих треугольников равна площади треугольника ABC.

$$S_{A_1BA} = S_{B_1CB} = S_{C_1AC} = S$$

Площадь треугольника A₁B₁C₁ можно найти, сложив площади треугольника ABC, треугольников A₁BC, AB₁C и ABC₁, треугольников A₁BA, B₁CB и C₁AC:

$$S_{A_1B_1C_1} = S + S_{A_1BC} + S_{AB_1C} + S_{ABC_1} + S_{A_1BA} + S_{B_1CB} + S_{C_1AC} = S + 2S + 2S + 2S + S + S + S = 10S$$

Так как площадь треугольника ABC равна 2, то площадь треугольника A₁B₁C₁ равна:

$$S_{A_1B_1C_1} = 10 * 2 = 20$$

Ответ: Площадь треугольника ΔA₁B₁C₁ равна 20.