Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Краткое пояснение:

Полная площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности. Для вычисления площади боковой поверхности нам понадобится апофема пирамиды.

Решение:

1. Площадь основания (S_{осн}): Основание - квадрат со стороной 10.
   \( S_{осн} = 10^2 = 100 \).
2. Находим апофему (h):
   Основание - квадрат, значит, центр квадрата находится на пересечении диагоналей. Расстояние от центра до середины стороны основания равно половине стороны, т.е. \( \frac{10}{2} = 5 \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (13), апофемой (h) и половиной стороны основания (5). По теореме Пифагора:
   \( h^2 + 5^2 = 13^2 \)
   \( h^2 + 25 = 169 \)
   \( h^2 = 169 - 25 = 144 \)
   \( h = \sqrt{144} = 12 \). Апофема равна 12.
3. Площадь боковой поверхности (S_{бок}): Основание - квадрат, поэтому у нас 4 одинаковые боковые грани (треугольники). Периметр основания (P) = 4 * 10 = 40.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240 \).
4. Площадь полной поверхности (S_{полн}):
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 240 = 340 \).

Ответ: 340