Стороны ромба длиной 30 см касаются сферы. Острый угол ромба равен 60°. Определите расстояние плоскости ромба от центра сферы, если радиус сферы равен 15 см.

Рассмотрим ромб (ABCD), где угол (A = 60^circ). Пусть (O) – центр сферы, и (OK) – перпендикуляр от центра сферы к плоскости ромба. Точки касания сферы и ромба лежат на сторонах ромба. Пусть (M) – точка касания стороны (AB) и сферы. Тогда (OM) – радиус, проведенный в точку касания, и (OM perp AB). Так как ромб касается сферы, то все его стороны находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости ромба – это длина отрезка (OK). Рассмотрим треугольник (OMA). В нём (OM = 15) см (радиус сферы), и (OA) – расстояние от центра сферы до вершины ромба. Чтобы найти расстояние (OK), нужно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы, расстоянием от центра сферы до плоскости ромба и половиной стороны ромба (так как высота, проведенная из острого угла ромба, делит его сторону пополам). Но для этого нам нужно знать расстояние от центра сферы до точки касания, которое равно радиусу сферы, то есть 15 см. Поскольку ромб касается сферы, то расстояние от центра сферы до плоскости ромба можно найти, используя радиус сферы и половину высоты ромба. Высота ромба, проведенная к стороне длиной 30 см, будет равна (30 cdot sin(60^circ) = 30 cdot rac{sqrt{3}}{2} = 15sqrt{3}). Половина этой высоты равна (rac{15sqrt{3}}{2}). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза – это радиус сферы (15 см), один катет – расстояние от центра сферы до плоскости ромба ((OK)), а другой катет – половина высоты ромба ((rac{15sqrt{3}}{2})). Применим теорему Пифагора: $OK^2 + (rac{15sqrt{3}}{2})^2 = 15^2$ $OK^2 = 15^2 - (rac{15sqrt{3}}{2})^2 = 225 - rac{225 cdot 3}{4} = 225 - rac{675}{4} = rac{900 - 675}{4} = rac{225}{4}$ $OK = sqrt{rac{225}{4}} = rac{15}{2} = 7.5$ см Однако, если плоскость ромба находится на расстоянии 15 см от центра сферы, а радиус сферы равен 15 см, это означает, что ромб касается сферы в одной точке. В таком случае, плоскость ромба проходит через центр сферы. Но по условию, стороны ромба касаются сферы, что предполагает, что плоскость ромба не проходит через центр сферы. Давайте рассмотрим другой подход. Так как стороны ромба касаются сферы, то все точки касания находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы. Если радиус сферы равен 15 см, а острый угол ромба равен 60°, то расстояние от центра сферы до плоскости ромба будет равно 15 см, если центр сферы лежит на высоте ромба, проведенной из вершины острого угла. Ответ: 15 см