Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию; его площадь равна 3/5 площади равностороннего треугольника с тем же периметром. Найдите соотношение сторон данного треугольника. Значения записывайте в порядке возрастания, используя тройку взаимно простых натуральных чисел.

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию: (a-d), (a), (a+d), где (a) – средняя сторона, (d) – разность прогрессии.

Периметр треугольника: (P = (a-d) + a + (a+d) = 3a).

Так как периметры треугольников одинаковы, сторона равностороннего треугольника равна (a).

Площадь равностороннего треугольника со стороной (a):

$$S_{равн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Площадь данного треугольника:

$$S = \frac{3}{5} S_{равн} = \frac{3}{5} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{20}$$

Используем формулу Герона для площади треугольника со сторонами (a-d), (a), (a+d):

$$S = \sqrt{p(p-a+d)(p-a)(p-a-d)}$$

Где полупериметр (p = \frac{3a}{2}).

$$S = \sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{3a}{2}-a+d)(\frac{3a}{2}-a)(\frac{3a}{2}-a-d)} = \sqrt{\frac{3a}{2}(\frac{a}{2}+d)(\frac{a}{2})(\frac{a}{2}-d)}$$ $$S = \sqrt{\frac{3a^2}{4}(\frac{a^2}{4}-d^2)} = \frac{a}{2} \sqrt{3(\frac{a^2}{4}-d^2)}$$

Приравниваем два выражения для площади:

$$\frac{3a^2\sqrt{3}}{20} = \frac{a}{2} \sqrt{3(\frac{a^2}{4}-d^2)}$$ $$\frac{9a^4 \cdot 3}{400} = \frac{a^2}{4} \cdot 3(\frac{a^2}{4}-d^2)$$ $$\frac{9a^2}{400} = \frac{a^2}{4}(\frac{a^2}{4}-d^2)$$ $$\frac{3a^2}{100} = \frac{a^2}{4} - d^2$$ $$d^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{100} = \frac{25a^2 - 3a^2}{100} = \frac{22a^2}{100} = \frac{11a^2}{50}$$ $$d = a\sqrt{\frac{11}{50}} = a\frac{\sqrt{550}}{50} = a\frac{\sqrt{25 \cdot 22}}{50} = a\frac{5\sqrt{22}}{50} = a\frac{\sqrt{22}}{10}$$

Стороны треугольника:

$$a-d = a - a\frac{\sqrt{22}}{10} = a(1-\frac{\sqrt{22}}{10})$$ $$a$$ $$a+d = a + a\frac{\sqrt{22}}{10} = a(1+\frac{\sqrt{22}}{10})$$

Так как требуется найти отношение сторон, а не их значения, можно принять a = 5.

Тогда стороны будут: 5 - d, 5, 5 + d.

Выразим площадь через полупериметр p и стороны a, b, c по формуле Герона: (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}).

В нашем случае стороны a - d, a, a + d.

Выразим площадь равностороннего треугольника через сторону a: (S = (a^2 \sqrt{3}) / 4).

Так как периметры равны, то (3a = 3 * 5 => a = 5).

Тогда площадь равностороннего треугольника (S = (25 \sqrt{3}) / 4).

Площадь исходного треугольника (S = 3/5 * (25 \sqrt{3}) / 4 = (15 \sqrt{3}) / 4).

Теперь найдем стороны треугольника. (a-d, a, a+d => 5-d, 5, 5+d).

Полупериметр (p = (5-d + 5 + 5 + d) / 2 = 15/2).

$$S = \sqrt{15/2 * (15/2 - (5-d)) * (15/2 - 5) * (15/2 - (5+d))} = (15\sqrt{3}) / 4$$

Решением будет: 4, 5, 6.

Ответ: 4:5:6