Стороны треугольника равны 10, 12, 15. Найдите косинусы углов этого треугольника.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что для треугольника со сторонами a, b, c и углами \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) соответственно, выполняются следующие соотношения: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$ В нашем случае, пусть a = 10, b = 12, c = 15. Тогда: 1) Найдем \( \cos(\angle A) \): $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\angle A)$$ $$10^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos(\angle A)$$ $$100 = 144 + 225 - 360 \cdot \cos(\angle A)$$ $$360 \cdot \cos(\angle A) = 144 + 225 - 100$$ $$360 \cdot \cos(\angle A) = 269$$ $$\cos(\angle A) = \frac{269}{360}$$ 2) Найдем \( \cos(\angle B) \): $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\angle B)$$ $$12^2 = 10^2 + 15^2 - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos(\angle B)$$ $$144 = 100 + 225 - 300 \cdot \cos(\angle B)$$ $$300 \cdot \cos(\angle B) = 100 + 225 - 144$$ $$300 \cdot \cos(\angle B) = 181$$ $$\cos(\angle B) = \frac{181}{300}$$ 3) Найдем \( \cos(\angle C) \): $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)$$ $$15^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(\angle C)$$ $$225 = 100 + 144 - 240 \cdot \cos(\angle C)$$ $$240 \cdot \cos(\angle C) = 100 + 144 - 225$$ $$240 \cdot \cos(\angle C) = 19$$ $$\cos(\angle C) = \frac{19}{240}$$ <strong>Ответ:</strong> $$\cos(\angle A) = \frac{269}{360}$$ $$\cos(\angle B) = \frac{181}{300}$$ $$\cos(\angle C) = \frac{19}{240}$$