370. Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 5 см.

Пусть стороны угла BAC касаются окружности в точках M и N, соответственно. Тогда OM = ON = 5 см (радиусы). OA – это отрезок, который нужно найти. 1. OM перпендикулярна AB, ON перпендикулярна AC (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 2. Рассмотрим четырехугольник AMON. Угол MAN = 60°, углы AMO и ANO прямые (90°). 3. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, угол MON = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°. 4. Рассмотрим треугольник AOM. Он прямоугольный (угол AMO = 90°). 5. Угол OAM равен половине угла BAC, так как AO - биссектриса угла BAC. Значит, угол OAM = 60° / 2 = 30°. 6. Используем тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике: $$\sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA}$$ $$\sin(30^\circ) = \frac{5}{OA}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{5}{OA}$$ OA = 10 см. Ответ: 10 см