4. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность попадания равна 0,4. Найдите вероятность того, что, сделав 5 выстрелов, стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.

Для решения данной задачи необходимо найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень 2, 3, 4 или 5 раз из 5 выстрелов. Это можно сделать, вычислив сумму вероятностей каждого из этих случаев.

$$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$

Используем формулу Бернулли: $$P(k;n,p) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$$, где n = 5, p = 0.4.

1) Вероятность 2 попаданий:

$$P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 0.3456$$

2) Вероятность 3 попаданий:

$$P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = \frac{5!}{3!2!} \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304$$

3) Вероятность 4 попаданий:

$$P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 = \frac{5!}{4!1!} \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768$$

4) Вероятность 5 попаданий:

$$P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024$$

Теперь сложим эти вероятности:

$$P(X \geq 2) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.66304$$

Ответ: 0.66304