Сумма двух чисел равна 10, а сумма их квадратов равна 52. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть искомые числа — \( x \) и \( y \).

По условию задачи составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 10 \\ x^2 + y^2 = 52 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( y \):

\[ y = 10 - x \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ x^2 + (10 - x)^2 = 52 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ x^2 + (100 - 20x + x^2) = 52 \]\[ 2x^2 - 20x + 100 - 52 = 0 \]\[ 2x^2 - 20x + 48 = 0 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ x^2 - 10x + 24 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = 4 \]

Если \( x = 6 \), то \( y = 10 - 6 = 4 \).

Если \( x = 4 \), то \( y = 10 - 4 = 6 \).

В обоих случаях числа — 4 и 6.

Проверка: \( 4 + 6 = 10 \), \( 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \).

Ответ: 4 и 6