Сумма двух чисел равна -9, а сумма их квадратов равна 45. Найдите эти числа.

Решение:

1. Обозначим искомые числа как \(x\) и \(y\).
2. Составим систему уравнений по условию задачи:
• \(x + y = -9\)
• \(x^2 + y^2 = 45\)
3. Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = -9 - x\).
4. Подставим это выражение во второе уравнение:
5. \[x^2 + (-9 - x)^2 = 45\]
6. Раскроем скобки:
7. \[x^2 + (81 + 18x + x^2) = 45\]
8. Приведём подобные члены:
9. \[2x^2 + 18x + 81 - 45 = 0\]
10. \[2x^2 + 18x + 36 = 0\]
11. Разделим всё уравнение на 2:
12. \[x^2 + 9x + 18 = 0\]
13. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
14. \[D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9\]
15. Найдём корни:
16. \[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]
17. \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]
18. Если \(x = -3\), то \(y = -9 - (-3) = -9 + 3 = -6\).
19. Если \(x = -6\), то \(y = -9 - (-6) = -9 + 6 = -3\).
20. Таким образом, числа -3 и -6. Проверим: \(-3 + (-6) = -9\) и \((-3)^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45\).

Ответ: числа -3 и -6.