Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найдите эти числа. В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение:

1. Обозначим числа:
   Пусть первое натуральное число будет x, а второе — y.
   По условию задачи имеем систему уравнений:
   1) x + y = 19
   2) x² + y² = 185
2. Выразим одно число через другое из первого уравнения:
   y = 19 - x
3. Подставим во второе уравнение:
   x² + (19 - x)² = 185
   x² + (361 - 38x + x²) = 185
   2x² - 38x + 361 - 185 = 0
   2x² - 38x + 176 = 0
4. Разделим все уравнение на 2:
   x² - 19x + 88 = 0
5. Решим полученное квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета). Используем теорему Виета:
   x₁ + x₂ = 19
   x₁ * x₂ = 88
   Подбираем числа: 8 и 11.
   Проверка: 8 + 11 = 19; 8² + 11² = 64 + 121 = 185.
6. Записываем числа в порядке возрастания: 8, 11

Ответ: 811