Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Пусть CE = x (гипотенуза), CD = y (катет). Тогда мы имеем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 31 \\ x - y = 3 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы избавиться от y:

$$ (x + y) + (x - y) = 31 + 3 $$ $$ 2x = 34 $$ $$ x = 17 $$

Теперь подставим значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

$$ 17 + y = 31 $$ $$ y = 31 - 17 $$ $$ y = 14 $$

Итак, CE = 17 и CD = 14.

Теперь нам нужно найти расстояние от вершины C до прямой DE. Это высота прямоугольного треугольника CDE, опущенная на гипотенузу. Обозначим её за h, а DE за c. Сначала найдем DE по теореме Пифагора:

$$c^2 = CE^2 - CD^2$$ $$c^2 = 17^2 - 14^2$$ $$c^2 = 289 - 196$$ $$c^2 = 93$$ $$c = \sqrt{93}$$

Площадь прямоугольного треугольника CDE можно вычислить двумя способами:

1. Как половину произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} cdot CD cdot DE = \frac{1}{2} cdot 14 cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93}$$
2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу: $$S = \frac{1}{2} cdot CE cdot h = \frac{1}{2} cdot 17 cdot h = \frac{17h}{2}$$

Приравняем оба выражения для площади:

$$7\sqrt{93} = \frac{17h}{2}$$

Решим уравнение относительно h:

$$h = \frac{2 cdot 7\sqrt{93}}{17} = \frac{14\sqrt{93}}{17}$$

Теперь нам нужно вычислить значение $$ \frac{14\sqrt{93}}{17} $$:

$$ \sqrt{93} \approx 9.64 $$ $$ h \approx \frac{14 cdot 9.64}{17} \approx \frac{134.96}{17} \approx 7.94 $$

Округлим до десятых: h ≈ 7.9

Ответ: 7.9