Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 24 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей.

Для решения задачи, нам нужно вспомнить, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Обозначим длины катетов как a и b. Из условия задачи нам известно, что a + b = 24. Наша цель - найти такие значения a и b, при которых площадь S = 0.5 * a * b будет максимальной.

Выразим b через a:

$$b = 24 - a$$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади:

$$S = 0.5 * a * (24 - a) = 12a - 0.5a^2$$

Чтобы найти максимум этой функции, можно взять производную по a и приравнять её к нулю:

$$\frac{dS}{da} = 12 - a = 0$$

Отсюда находим значение a:

$$a = 12$$

Теперь найдем значение b:

$$b = 24 - a = 24 - 12 = 12$$

Таким образом, катеты должны быть равны 12 см. Теперь рассчитаем максимальную площадь:

$$S = 0.5 * 12 * 12 = 72 \text{ см}^2$$

Ответ: Катеты треугольника должны быть равны 12 см и 12 см. Максимальная площадь равна 72 см².