Сумма первых 8 членов геометрической прогрессии равна $$rac{85}{64}$$, а знаменатель $$q = -\frac{1}{2}$$. Найдите ее первый член.

Обозначим сумму первых 8 членов геометрической прогрессии как $$S_8$$, знаменатель прогрессии как $$q$$, а первый член как $$b_1$$. Нам дано:

$$S_8 = \frac{85}{64}$$

$$q = -\frac{1}{2}$$

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии имеет вид:

$$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$

В нашем случае n = 8, поэтому:

$$S_8 = \frac{b_1(1 - q^8)}{1 - q}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{85}{64} = \frac{b_1(1 - (-\frac{1}{2})^8)}{1 - (-\frac{1}{2})}$$

Сначала вычислим $$(-\frac{1}{2})^8$$:

$$q^8 = (-\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$$

Теперь подставим это значение в формулу:

$$\frac{85}{64} = \frac{b_1(1 - \frac{1}{256})}{1 + \frac{1}{2}}$$

$$\frac{85}{64} = \frac{b_1(\frac{255}{256})}{\frac{3}{2}}$$

Упростим выражение:

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3}$$

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{255 \cdot 2}{256 \cdot 3}$$

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{510}{768}$$

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{85 \cdot 6}{128 \cdot 6}$$

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{85}{128} \cdot \frac{2}{2}$$

$$\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{85}{128} \cdot \frac{1}{1}$$

Теперь выразим $$b_1$$:

$$b_1 = \frac{85}{64} : \frac{85}{128}$$

$$b_1 = \frac{85}{64} \cdot \frac{128}{85}$$

$$b_1 = \frac{85 \cdot 128}{64 \cdot 85}$$

$$b_1 = \frac{128}{64}$$

$$b_1 = 2$$

Ответ: Первый член геометрической прогрессии равен 2.